Výroková logika, jazyk, formule, pravdivost, vyplývání, tautologie, základní syntaktické a sémantické pojmy výrokové logiky

Výroková logika

• Logika je věda o správném usuzování

• Logika studuje formy usuzování bez ohledu na obsah, proto má moderní logika symbolický charakter

• Moderní logika bývá označována jako logika formální (symbolická)

• Klasická logika = logika, která používá dvě pravdivostní hodnoty (true a false) a klasické logické spojky

• Neklasické logika = logika, která se zabývá dalšími aspekty

  • Modální logika - používá neklasické spojky (“je možné, že”, “je nutné, že”)
  • Temporální logika - zabývá se tvrzeními, ve kterých hraje roli čas
  • Fuzzy logika - studuje více pravdivostních hodnot

• Znalost základů logiky nám umožňuje srozumitelně a jednoznačně se vyjadřovat a argumentovat

Výroky a logické spojky

• Výrok je tvrzení (výpověď), u kterého má smysl uvažovat o jeho pravdivosti

• Logické spojky jsou jazykové výrazy, kterými z jednodušších výroků vytváříme výroky složitější

• Výrok může mít

  1. Pravdivostní hodnotu $1$ (true)
  2. Pravdivostní hodnotu $0$ (false)

• Pravdivostní hodnotu výroku V označujeme $||V|{|}_e$

  • e = pravdivostní ohodnocení

• Pravdivostní hodnota výroku se počítá z pravdivostních hodnot atomických výroků pomocí pravdivostních funkcí spojek

Název	Symbol	Pravdivostní funkce	Tabulka pravdivostní funkce
Negace	ㄱ	ㄱ’
Konjunkce	⋀	⋀’
Disjunkce	⋁	⋁‘
Implikace	⟶	⟶‘
Ekvivalence	↔	↔‘
Piercova	↓	↓‘
Shefferova	↑	↑‘

Tabulková metoda

• Pro $n$ výrokových symbolů existuje právě $2^n$ různých ohodnocení (jelikož každý výrokový symbol může nabývat hodnoty $0$ nebo $1$)
• Prostě si do tabulky píšu formule, výrokové symboly a jejich ohodnocení (lépe se to pak skládá a “počítá”)
• Algoritmicky je pak můžeme převádět do ÚKNF nebo ÚDNF

Některé zákony VL

Výroky s proměnou, kvantifikátory

• Některé výrazy přirozeného jazyka obsahují proměnné

  • Číslo x je větší nebo rovno 3
  • $x+y\ge z$

• Tyto výrazy nejsou výroky. Museli bychom určit hodnotu proměnných, které se v těchto výrazech vyskytují.

• Výrazy obsahující proměnné, ze kterých se po dosazení hodnot za proměnné stanou výroky, nazýváme výrokové formy

• Výrokové formy bývají zvykem označovat písmenem, za kterým jsou v závorce uvedeny všechny proměnné, které forma obsahuje

  • Číslo x je větší nebo rovno 3 = $V(x)$
  • $x+y\ge z=U(x,y,z)$

• Kvantifikátory jsou jazykové výrazy, kterými z výrokových forem vznikají výroky

Obecný kvantifikátor - $\forall$

• Je pravdivý, pokud pro všechny hodnoty z oboru hodnot je výrok pravdivý
• Použití pro výrokovou formu “x je větší nebo rovno 1”:
  • Pro každé x platí, že x je větší nebo rovno 1
  • ($\forall x$) ($x$ je větší nebo rovno 1)
  • ($\forall x$) ($x\ge 1$)

Existenční kvantifikátor - $\exists$

• Je pravdivý, pokud pro alespoň jednu hodnotu z oboru hodnot je výrok pravdivý
• Použití pro výraz “x je větší nebo rovno 1”:
  • Existuje $x$ tak, že $x$ je větší nebo rovno 1
  • $(\exists x)$ ($x$ je větší nebo rovno 1)
  • $(\exists x)$ $(x\ge 1)$

Základy výrokové logiky

• Výroková logika je nejjednodušším formálním systémem logiky

• Ve výrokové logice nepracujeme s výroky samotnými, ale pracujeme s formami výroků

• Formy výroků se nazývají formule a jsou to přesně definované řetězce symbolů

• Konkrétní výroky dostaneme nahrazením výrokových symbolů atomickými výroky

• Formule jsou jisté posloupnosti symbolů jazyka, samy o sobě nemají žádný význam

• Jazyk výrokové logiky se skládá z:

  1. výrokových symbolů - p, q, r, ...
  2. symbolů výrokových spojek - ㄱ, ∧, ∨, ⟶, ↔
  3. pomocných symbolů - různé druhy závorek

• Formule daného jazyka výrokové logiky je definovaná následovně:

  • Každý výrokový symbol je formule (tzv. atomické)
  • Jsou-li φ (phi) a 𝜓 (psí) formule, jsou i formule (tzv. složené) i výrazy:
    • ㄱφ
    • (φ ∧ 𝜓)
    • (φ ∨ 𝜓)
    • (φ $\to$ 𝜓)
    • (φ ↔ 𝜓)

Pravdivost

• Pravdivostní ohodnocení je libovolné zobrazení $e$ výrokových symbolů daného jazyka výrokové logiky do množiny $\{0,1\}$

• 0 a 1 reprezentují nepravda a pravda

• Pravdivostní hodnota formule φ při ohodnocení $e$, označujeme ji $\mid \mid \varphi \mid {\mid }_e$, je definována:

  • Je-li $\varphi$ výrokovým symbolem $p$, pak
    • $\mid \mid p\mid {\mid }_e$ = e(p)
  • Je-li $\varphi$ složená formule, pak
    • $\mid \mid \neg \psi \mid {\mid }_e$ = ${\neg }^{\prime }\mid \mid \psi \mid {\mid }_e$
    • $\mid \mid \psi \wedge \theta \mid {\mid }_e=\mid \mid \psi \mid {\mid }_e{\wedge }^{\prime }\mid \mid \theta \mid {\mid }_e$
    • $\mid \mid \varphi \vee \theta \mid {\mid }_e=\mid \mid \varphi \mid {\mid }_e{\vee }^{\prime }\mid \mid \theta \mid {\mid }_e$
    • $\mid \mid \varphi \to \theta \mid {\mid }_e=\mid \mid \varphi \mid {\mid }_e{\to }^{\prime }\mid \mid \theta \mid {\mid }_e$
    • $\mid \mid \varphi \leftrightarrow \theta \mid {\mid }_e=\mid \mid \varphi \mid {\mid }_e{\leftrightarrow }^{\prime }\mid \mid \theta \mid {\mid }_e$

• Tautologie = je-li formule při každém ohodnocení pravdivá

• Kontradikce = je-li formule při každém ohodnocení nepravdivá

• Splnitelná = je-li formule alespoň při jednom ohodnocení pravdivá

Sémantické Vyplývání

• Formule $\psi$ sémanticky plyne z formule $\varphi$, značíme $\varphi \models \psi$, jestliže $\psi$ je pravdivá při každém ohodnocení, při kterém je pravdivá $\varphi$
• Pokud $\psi$ sémanticky plyne z $\varphi$ a naopak, říkáme, že $\psi$ a $\varphi$ jsou sémanticky ekvivalentní $\varphi \equiv \psi$