Porovnání velikosti množin, Cantorova-Bernsteilova věta, Cantorova věta

Kardinální čísla

• Kardinální číslo (kardinalita) množiny $A$ je objekt značený jako $|A|$
• Přiřazený množině $A$, tak že $|A|=|B|$, právě když $A$ a $B$ jsou ekvivalentní

1. Pro konečnou množinu $A$ lze $|A|$ ztotožnit s počtem prvků $A$
2. Pro nekonečnou množinu je to složitější

• Můžeme provádět operace porovnání $|A|=|B|$, $|A|<|B|$ a $|A|>|B|$
• Značíme $\aleph$ (alef)
• ${\aleph }_0=|\mathbb{N}|$, tj. mohutnost množiny $\mathbb{N}$
• ${\aleph }_1=|\mathbb{R}|$, tj. mohutnost množiny $\mathbb{R}$
  • víme, že ${\aleph }_0<{\aleph }_1$

Cantorova-Bernsteilova věta

• O vztahu 2 množin
• Pokud pro množiny $A$ a $B$ existují injekce $f:A\to B$ a $g:B\to A$, pak existuje bijekce množiny $A$ na množinu $B$.
• Ony dvě množiny jsou stejně velké.
• Např. Přestože pro množiny $\mathbb{N}$ a $\mathbb{Z}$ se může zdát, že $\mathbb{Z}$ bude větší, jelikož obsahuje $0$ a záporná čísla (což $\mathbb{N}$ neobsahuje), tak jsme schopni vytvořit bijekci $\mathbb{N}\to \mathbb{Z}$ z čehož podle této věty plyne, že $\mathbb{N}$ a $\mathbb{Z}$ jsou stejně velké.

Cantorova věta

• O velikosti množiny
• Pro každou množinu $A$ platí $|A|\text{textless}|2^A|$
• Množina všech podmnožin dané množina je větší než sama množina