Limita a spojitost funkce

Okolí bodu

• Nechť $a\in \mathbb{R}$ a je dáno $\delta \in \mathbb{R},\delta >0$, pak interval $U_{\delta }(a)=(a-\delta ,a+\delta )$ nazýváme $\delta$-okolím bodu $a$.
• Interval $U_{\delta }^{-}(a)=⟨a-\delta ,a)$ nazýváme levým $\delta$-okolím bodu $a$
• Interval $U_{\delta }^{+}=(a,a+\delta ⟩$ nazýváme pravým $\delta$-okolím bodu $a$

Prstencové okolí bodu

• Prstencovým $\delta$-okolím bodu $a$ rozumíme množinu $P_{\delta }(a)=U_{\delta }(a)\setminus \{a\}=(a-\delta ,a)\cup (a,a+\delta )$
• Levé a pravé prstencové $\delta$-okolí: $P_{\delta }^{-}=U_{\delta }^{-}\setminus \{a\}=(a-\delta ,a)$ $P_{\delta }^{+}=U_{\delta }^{+}\setminus \{a\}=(a,a+\delta )$

Okolí na rozšířené reálné ose

• Nechť je dáno číslo $k\in \mathbb{R}$. Okolím bodu $\infty$ rozumíme interval $P_k(\infty )=U_k(\infty )=(k,\infty ),$
• Okolím bodu $-\infty$ rozumíme interval $P_k(-\infty )=U_k(-\infty )=(-\infty ,k)$

Limita funkce

• Nechť $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$. Říkáme, že $f$ má v bodě $a\in {\mathbb{R}}^{\ast }$ limitu $A\in {\mathbb{R}}^{\ast }$, právě když platí podmínka $\forall U(A)\exists P(a)\forall x\in \mathbb{R}:(x\in P(a)\Rightarrow f(x)\in U(A))$

• Píšeme ${\lim }_{x\to a}f(x)=A$.

• Pro $a\in \mathbb{R}$ jde o limitu ve vlastním bodě, zatímco pro $a\in \{-\infty ,\infty \}$ jde o limitu v nevlastním bodě

• Je-li $A\in \mathbb{R}$, říkáme, že $f$ má vlastní limitu, zatímco je-li $A\in \{-\infty ,\infty \}$, říkáme, že $f$ má nevlastní limitu.

Jednostranné limity

• Často je třeba rozlišit, zda se zajímáme o hodnoty funkce $f$ v blízkosti bodu $a\in \mathbb{R}$ pro $x<a$ nebo $x>a$, je tak vhodné zavést pojem jednostranné limity
• Nechť $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$. Říkáme, že $f$ má v bodě $a\in \mathbb{R}$ limitu $A\in {\mathbb{R}}^{\ast }$ zprava, právě když platí podmínka $\forall U(A)\exists P^{+}(a)\forall x\in \mathbb{R}:(x\in P^{+}(a)\Rightarrow f(x)\in U(A))$
• Píšeme ${\lim }_{x\to a^{+}}f(x)=A$
• Podobně lze popsat limitu zleva, kde píšeme $P^{-}(a)$ místo $P^{+}(a)$ a ${\lim }_{x\to a^{-}}f(x)=A$
• Funkce $f$ má v bodě $a$ limitu $A$, právě když existují obě jednostranné limity (limity zprava a zleva) a jsou si rovny
  • např. $f(x)=sgn(x)$ v bodě 0 limitu nemá, protože:
    • ${\lim }_{x\to 0^{-}}sgn(x)=-1$
    • ${\lim }_{x\to 0^{+}}sgn(x)=1$

Typy limit funkce

• Rozlišujeme $4$ typy limit podle toho, jestli $a$, $A$ nabývá reálných nebo hodnot $\pm \infty$

Isibalo - Typy limit funkce

Vlastní limita ve vlastním bodě

pro $a,A\in \mathbb{R}$

• Jdeme k nějaké konkrétní hodnotě a vyjde nám konkrétní výsledek.
• např. ${\lim }_{x\to 1}(\frac{x^2-1}{x-1})=2$

Vlastní limita v nevlastním bodě

• pro $a\in \pm \infty \wedge A\in \mathbb{R}$
• pro hodně vzdálené body $x$ se funkční hodnoty přibližují k nějaké reálné funkční hodnotě $A$
• např. ${\lim }_{x\to \infty }(\frac{x+1}{x})=1$

Nevlastní limita ve vlastním bodě

• pro $a\in \mathbb{R}\wedge A\in \pm \infty$
• např. ${\lim }_{x\to 0}(\frac{1}{x^2})=+\infty$

Nevlastní limita v nevlastním bodě

• pro $a,A\in \pm \infty$
• funkční hodnoty vzdálených $x$ konverguje k $\pm \infty$
• např. ${\lim }_{x\to \infty }(x+2)=\infty$

Použití limity funkce

1. Vyšetření průběhu funkcí
   • Určení asymptot: Limity umožňují nalézt asymptoty funkce
     • (přímky, ke kterým se funkce nekonečně přibližuje)
   • Chování v nekonečnu: Limity určují, jak se funkce chová, když se argument blíží k $\pm \infty$
2. Spojitost funkcí
   • Definice spojitosti
     • Funkce je spojitá v bodě, pokud se limita funkce v tomto bodě rovná funkční hodnotě v tomto bodě.
3. Derivace
   • Definice derivace
     • Derivace funkce v bodě je definována jako limita rozdílového podílu pro $h$ blížící se k nule.
   • Aplikace derivací:
     • Derivace se používají k určení rychlosti změny, nalezení maxima a minima funkcí, a v mnoha fyzikálních a technických aplikacích.
4. Integrály
   • Definice integrálu
     • limita Riemannových součtů je definována počtem dělení intervalu $n$, pro $n$ jdoucí k nekonečnu.
   • Aplikace integrálů: Integrály se používají k výpočtu obsahu plochy vymezené danými funkcemi, objemu rotačních těles, délky křivky, …

Vlastnosti limity funkce

• Zápis ${\lim }_{x\to a}f(x)=A$ znamená, že limita v bodě $a$ existuje a je rovna $A$.

1) Lokální vlastnost limity

• Nechť $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ a $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$. Nechť dále existuje $P(a)$ takové, že $\forall x\in P(a)$ platí $f(x)=g(x)$. Pak ${\lim }_{x\to a}f(x)=A$, právě když ${\lim }_{x\to a}g(x)=A$.

2) O jednoznačnosti limity

• Pro $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $a\in {\mathbb{R}}^{\ast }$ existuje nejvýše jedna limita $f$ v $a$.
  • stejně tak pro limitu zleva, resp. zprava

3) O jednostranných limitách

• Nechť $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $a\in \mathbb{R}$. Pak ${\lim }_{x\to a}f(x)=A\in {\mathbb{R}}^{\ast }$, právě když ${\lim }_{x\to a^{+}}f(x)={\lim }_{x\to a^{-}}f(x)=A$.
  • obě jednostranné limity musí být rovny

4) O omezenosti

• Nechť $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $a\in {\mathbb{R}}^{\ast }$ a nechť ${\lim }_{x\to a}f(x)=A\in \mathbb{R}$. Pak existuje $P(a)\subset D(f)$ takové, že $f$ je na $P(a)$ omezená.
  • to znamená, že existuje takové $K>0$ takové, že pro $x\in P(a)$ platí $|f(x)|\le K$
  • $x\in U(a)\to x\in \mathbb{R}$

5) O limitě absolutní hodnoty

• Nechť $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $a\in {\mathbb{R}}^{\ast }$. Jestliže ${\lim }_{x\to a}f(x)=A\in {\mathbb{R}}^{\ast }$, pak ${\lim }_{x\to a}|f(x)|=|A|$.

6) O aritmetických operacích s limitami

• Nechť $f,g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $a\in {\mathbb{R}}^{\ast }$, ${\lim }_{x\to a}f(x)=A$, ${\lim }_{x\to a}g(x)=B$ a $A,B\in {\mathbb{R}}^{\ast }$. Potom:

1. Je-li součet $A+B$ definován, je ${\lim }_{x\to a}(f(x)+g(x))=A+B$
   • limita součtu je součet limit
2. Je-li součin $A\cdot B$ definován, je ${\lim }_{x\to a}(f(x)\cdot g(x))=A\cdot B$
   • limita součinu je součin limit
3. Je-li podíl $\frac{A}{B}$ definován, je ${\lim }_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{A}{B}$
   • limita podílu je podíl limit

7) O limitě složené funkce

• Nechť $f,g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $a\in {\mathbb{R}}^{\ast }$. Nechť dále současně platí podmínky:

1. ${\lim }_{x\to a}f(x)=A\in {\mathbb{R}}^{\ast }$,
2. ${\lim }_{y\to A}g(y)=B\in {\mathbb{R}}^{\ast }$,
3. existuje $P(a)$ takové, že $\forall x\in \mathbb{R}$ platí: je-li $x\in P(a)$ pak $f(x)\ne A$. - (pro $x$ dostatečně blízká k $a$, tak že $f(x)\ne A$) Pak ${\lim }_{x\to a}(g\circ f)(x)={\lim }_{x\to a}g(f(x))=B$.

8) O limitním přechodu v nerovnost

• Nechť $f,g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $a\in {\mathbb{R}}^{\ast }$. Nechť dále ${\lim }_{x\to a}f(x)=A\in {\mathbb{R}}^{\ast }$ a ${\lim }_{x\to a}g(x)=B\in {\mathbb{R}}^{\ast }$.

1. Jestliže $A<B$, pak existuje $P(a)$ takové, že pro $x\in P(a)$ je $f(x)<g(x)$.
2. Jestliže existuje $P(a)$ tak, že pro $x\in P(a)$ je $f(x)\le g(x)$, pak $A\le B$.

9) O důsledcích věty o limitním přechodu v nerovnost

Nechť $f,g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $a\in {\mathbb{R}}^{\ast }$.

1. Je-li ${\lim }_{x\to a}f(x)=0$ a existuje okolí $P(a)$ tak, že $g$ je omezená na $P(a)$. Pak ${\lim }_{x\to a}f(x)\cdot g(x)=0$.
2. Je-li ${\lim }_{x\to a}f(x)=A>0$, pak existuje okolí $P(a)$ takové, že pro $x\in P(a)$ je $f(x)>0$.

10) O sevření nebo o křídlech

Nechť $a\in {\mathbb{R}}^{\ast }$, $f,g,h:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$. Nechť dále:

1. existuje $P(a)$ takové, že pro $x\in P(a)$ platí $h(x)\le f(x)\le g(x)$,
2. ${\lim }_{x\to a}g(x)={\lim }_{x\to a}h(x)=A\in {\mathbb{R}}^{\ast }$. Pak také ${\lim }_{x\to a}f(x)=A$.

---

Spojitost funkce v bodě

• Říkáme, že $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ je spojitá v bodě $a\in \mathbb{R}$, právě když ${\lim }_{x\to a}f(x)=f(a)$
  • slovy: limita v bodě $a$ funkce $f$ je definována a je rovna funkční hodnotě v tomto bodě
• Alternativní definice ($ϵ-\delta$ formulace spojitosti):
  • Funkce $f$ definovaná na okolí bodu $a\in D_f$ je spojitá v bodě $a\in D_f$, právě když pro každé $ϵ>0$ existuje $\delta >0$ tak, že pro každé $x\in \mathbb{R}$ splňující $|x-a|<\delta$ platí $|f(x)-f(a)|<ϵ$.
• Analogicky jako u limity říkáme, že $f$ je spojitá zprava resp. zleva, právě když ${\lim }_{x\to a^{+}}f(x)=f(a)$, resp. ${\lim }_{x\to a^{-}}f(x)=f(a)$.
• Na rozdíl od limity:
  • musí být funkce $f$ v bodě $a$ definována
  • limita ${\lim }_{x\to a}f(x)$ musí být rovna funkční hodnotě v bodě $a$
• 

Základní vlastnosti spojitosti

• Nechť $f,g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$. Pak:
  1. $f$ je spojitá v bodě $a$, právě když je v $a$ spojitá zprava i zleva
  2. Jestliže je $f$ spojitá v $a$, pak existuje $U(a)$ takové, že $f$ je omezená na $U(a)$
  3. Jsou-li $f,g$ spojité v $a$, pak $|f|$, $f+g$, $f\cdot g$ jsou také v $a$ spojité. Pokud $g(a)\ne 0$, je v $a$ spojitá i $\frac{f}{g}$
     • Jsou-li funkce $f$ a $g$ spojité v bodě $a$, pak můžeme o součtu, rozdílu, součinu a podílu těchto funkcí prohlásit, že se jedná o funkci spojitou v bodě $a$.
  4. Nechť $f$ je spojitá v $a$ a $g$ spojitá v $A=f(a)$. Pak je také $g\circ f$ spojitá v $a$

O limitě složené funkce

Nechť $f,g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ a nechť:

• ${\lim }_{x\to a}f(x)=A\in \mathbb{R}$,
• $g$ je spojitá v $A$.
• pak ${\lim }_{x\to a}g(f(x))=g(A)$.

O spojitosti elementárních funkcí

• Nechť $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $x\in D(f)$ je elementární. Pak v každém bodě $x\in D(f)$ je $f$ spojitá.

Spojitost na intervalu (množině)

Nechť $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ je definována na intervalu $(a,b)$.

1. Říkáme, že $f$ je spojitá na $(a,b)$, je-li spojitá v každém bodě tohoto intervalu.
2. Říkáme, že $f$ je spojitá na $⟨a,b⟩$, je-li spojitá na $(a,b)$, v bodě $a$ je spojitá zprava a v bodě $b$ je spojitá zleva.

O omezenosti a minimu (Weierstrassova věta)

• Nechť $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ je spojitá na uzavřeném intervalu $⟨a,b⟩$. Pak:

1. O omezenosti: $f$ je omezená na $⟨a,b⟩$.
2. O maximu a minimu: $f$ nabývá na $⟨a,b⟩$ svého (lokálního) maxima a minima.
   • To znamená, že existují $c,d\in ⟨a,b⟩$ takové, že $f(c)={\min }_{x\in ⟨a,b⟩}f(x)$ a $f(d)={\max }_{x\in ⟨a,b⟩}f(x)$
   • Což také znamená, že pro všechna $x\in ⟨a,b⟩$ je $f(c)\le f(x)\le f(d)$.
   • Zjednodušeně, je-li funkce f spojitá v uzavřeném intervalu ⟨a,b⟩, pak nabývá v alespoň jednom bodě svého lokálního maxima a v alespoň jednom bodě svého minima.
   • Tato věta nám dává jistotu v existenci lokálního maxima a minima, neříká však nic o jejich vyhledání

Nechť navíc $f(a)<f(b)$, pak: 3. O nabývání mezihodnot (Bolzanova-Weierstrassova věta): $f$ nabývá v intervalu $(a,b)$ všech hodnot mezi $f(a)$ a $f(b)$. - To znamená, že pro libovolné číslo $d\in (f(a),f(b))$ existuje číslo $c\in (a,b)$ takové, že $f(c)=d$.

Bolzanova věta

• Nechť $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ je spojitá na uzavřeném intervalu $⟨a,b⟩$ taková, že $f(a)\cdot f(b)<0$. Pak existuje $c\in \mathbb{R}$ takové, že $c\in (a,b)$ a $f(c)=0$.

•  její graf v alespoň jednom vnitřním bodě tohoto intervalu protíná osu x

• Jedná se o postačující podmínku, který je přímým důsledkem Bolzano-Weierstrassovy věty >> - zajišťuje nám existenci nulového bodu >> - nulový bod lze nalézt metodou půlení intervalu

O hodnotách spojité funkce

• Funkce $f$ je spojitá na uzavřeném intervalu $⟨a,b⟩$ a v $(a,b)$ nemá žádné nulové body, pak na $(a,b)$ je buď $f(x)>0$ nebo $f(x)<0$ pro všechny $x\in (a,b)$.

O spojitosti inverzní funkce

• Funkce $f$ je spojitá a ryze monotónní na intervalu $I$. Pak $f^{-1}$ je také spojitá.

Jednostranná spojitost a body nespojitosti

• Mějme funkci $f:A\to \mathbb{R}$.
• Jestliže v jistém levém, resp. pravém okolí bodu $a$ není funkce $f$ definována, pak mluvíme o jednostranné spojitosti v bodě $a$ zprava, resp. zleva.
• Např. funkce $f:y=\sqrt{x}$ jde v bodě 0 o spojitost zprava (funkce není definována pro $x<0$).
• Pojem jednostranné spojitosti však zavádíme i v případě, že máme definováno okolí bodu $a$ zprava i zleva.

Jednostranná spojitost

Říkáme, že funkce $f:A\to \mathbb{R}$ je spojitá zprava (zleva) v bodě $a\in A$, jestliže platí:

• ${\lim }_{x\to a^{+}}f(x)=f(a)$
• resp. ${\lim }_{x\to a^{-}}f(x)=f(a)$

Body nespojitosti

• Body definičního oboru funkce $f$, v nichž není funkce spojitá, nazýváme body nespojitosti funkce $f$. Tyto body můžeme roztřídit do tří skupin

1. Body odstranitelné nespojitosti

• Existuje konečná limita ${\lim }_{x\to a}f(x)=b$, ale $b\ne f(a)$.
• Stačí funkci $f$ v bodě $a$ předefinovat tak, že položíme $f(a)=b$ a funkce se stane spojitou.
• K bodům odstranitelné nespojitosti patří také body, v nichž je funkce $f$ nedefinovaná, ale existuje v něm limita ${\lim }_{x\to a}f(x)=b$.
  • V takovém případě postačí funkci $f$ v bodě $a$ dodefinovat tak, že položíme $f(a)=b$. Funkci $f$ tak rozšíříme na $D(f)\cup \{a\}$.
• Např. Funkce $f(x)=\frac{\sin x}{x}$ není definována v bodě $x=0$.
  • 

2. Nespojitost prvního druhu

• Existují konečné jednostranné limity, ale nejsou si rovny:

$$\underset{x\to a^{+}}{\lim }f(x)\ne \underset{x\to a^{-}}{\lim }f(x)$$

• V tomto případě nazveme bod $a$ nespojitostí prvního druhu a číslo $s(a)$ nazýváme skokem funkce v bodě $a$.

$$s(a)=\underset{x\to a^{+}}{\lim }f(x)-\underset{x\to a^{-}}{\lim }f(x)$$

• Např. funkce $f(x)=\text{sgn}x$ má v bodě 0 nespojitost prvního druhu.
  • 

3. Nespojitost druhého druhu

• Jestliže alespoň jedna z jednostranných limit neexistuje nebo je nevlastní ${\lim }_{x\to a^{+}}f(x)=\infty$, pak bod $a$ nazveme bodem nespojitosti druhého druhu.
• Např. funkce $f(x)=\frac{1}{x}$ má v bodě 0 nespojitost druhého druhu.
  • Tvrzení nám dokáže opět jednostranné limity:

$$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{1}{x}=\infty ,\text{resp.}\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{1}{x}=-\infty$$

•