Eukleidovské vektorové prostory, ortogonální a ortonormální báze, Schwarzova nerovnost, Schmidtova ortogonalizační metoda

Skalární součin

• Nechť $V=(V;+,\mathbb{R},\cdot )$ je VP nad tělesem reálných čísel. Skalárním součinem na $V$ nazveme každé zobrazení $\circ :V\times V\to \mathbb{R}$, které pro každé $\vec{u},\vec{v},\vec{w}\in V$ a pro každé $c\in \mathbb{R}$ splňuje:
  1. $\vec{u}\circ \vec{v}=\vec{v}\circ \vec{u}$ (komutativita)
  2. $\vec{u}\circ (\vec{v}+\vec{w})=\vec{u}\circ \vec{v}+\vec{u}\circ \vec{w}$ (distributivita)
  3. $(c\cdot \vec{u})\circ \vec{v}=c\cdot (\vec{u}\circ \vec{v})$ (asociativita)
  4. $\vec{u}\circ \vec{u}\ge 0$, rovnost nastane právě když $\vec{u}=\vec{o}$.

Eukleidovský vektorový prostor

• Eukleidovským vektorovým prostorem rozumíme každý vektorový prostor, na kterém je zaveden skalární součin.

Délka(norma) vektoru

• Nechť $V$ je EVP, $\vec{u}\in V$. Číslo $\Vert \vec{u}\Vert =\sqrt{\vec{u}\circ \vec{u}}$ nazveme délka vektoru $\vec{u}$.

Tip

Pokud $\vec{u}=\left(u_1,u_2,\dots ,u_n\right)$, tak velikost vektoru $\vec{u}$ vypočítáme vztahem: $\Vert \vec{u}\Vert =\sqrt{\vec{u}\circ \vec{u}}=\sqrt{u_1^2+u_2^2+\dots +u_n^2}$

• Nechť $V$ je EVP, $\vec{u},\vec{v}\in V,c\in \mathbb{R}$. Platí
  1. $\Vert c\cdot \vec{u}\Vert =|c|\cdot \Vert \vec{u}\Vert$,
  2. $\Vert \vec{o}\Vert =0$ a pro $\vec{u}\ne \vec{o}$ pak $\Vert \vec{u}\Vert >0$.
  3. $|\vec{u}\circ \vec{v}|\le \Vert \vec{u}\Vert \cdot \Vert \vec{v}\Vert$ (Schwarzova nerovnost).
     • Schwartzova nerovnost říká, že absolutní hodnota skalárního součinu dvou vektorů je vždy menší nebo rovna součinu jejich norm. Rovnost nastává pouze tehdy, když jsou vektory lineárně závislé, tj. jeden vektor je násobkem druhého.

Úhel vektorů

• Nechť $V$ je EVP, $\vec{u},\vec{v}\in V,\vec{u}\ne \vec{o}\ne \vec{v}$. Úhlem vektorů $\vec{u}$ a $\vec{v}$ rozumíme číslo

$$\phi (\vec{u},\vec{v})=\arccos \frac{\vec{u}\circ \vec{v}}{\Vert \vec{u}\Vert \cdot \Vert \vec{v}\Vert }.$$

• Ze Schwarzovy nerovnosti plyne, že úhel $\phi$ je určen korektně.
• Platí, že $\cos \phi (\vec{u},\vec{v})=\frac{\vec{u}\cdot \vec{v}}{\Vert \vec{u}\Vert \cdot \Vert \vec{v}\Vert }$, kde $0\le \phi \le \pi$.

Ortogonální (kolmé) vektory

• Vektory $\vec{u}$ a $\vec{v}$ jsou navzájem ortogonální, pokud je jejich skalární součin roven nule, tj. pokud $\vec{u}\cdot \vec{v}=0$. Píšeme $\vec{u}\perp \vec{v}$.

Tip

• To zřejmě nastane pokud je jeden z těchto vektorů nulový vektor $0\in R^n$ nebo pokud svírají tyto vektory pravý úhel, tj. $\cos \phi =0$ neboli $\phi (\vec{u},\vec{v})=\frac{\pi }{2}$

• Nechť $V$ je EVP, $\vec{u},\overrightarrow{v_1},\overrightarrow{v_2},\dots ,\overrightarrow{v_n}\in V$ a nechť platí $\vec{u}\perp \overrightarrow{v_i}$ pro každé $i=$ $1,2,\dots ,n$. Pak $\vec{u}\perp \vec{w}$ pro každý $\vec{w}\in \left[\left\{\overrightarrow{v_1},\overrightarrow{v_2},\dots ,\overrightarrow{v_n}\right\}\right]$.

Definice

• Nechť $V$ je EVP. Vektory $\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2},\dots ,\overrightarrow{u_n}\in V$ nazveme vzájemně ortogonální, platí-li $\overrightarrow{u_i}\perp \overrightarrow{u_j}$ pro každé $i\ne j$, kde $i,j=1,2,\dots ,n$.
• Nenulové vzájemně ortogonální vektory $\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2},\dots ,\overrightarrow{u_n}$ z EVP $V$ jsou lineárně nezávislé.
• Jsou-li vektory $\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2},\dots ,\overrightarrow{u_n}$ vzájemně ortogonální v EVP $V$ a platí-li $V=$ $\left[\left\{\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2},\dots ,\overrightarrow{u_n}\right\}\right]$, pak množina $\left\{\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2},\dots ,\overrightarrow{u_n}\right\}$ je báze VP $V$, tzv. ortogonální báze.

Gram-Schmidtova ortogonalizační metoda

• Metoda, která z báze vektorového prostoru vytvoří ortogonální bázi.

Příklad užití

• Mám 3 (bázové) vektory, které neleží v jedné rovině.
• Chci z nich udělat navzájem kolmé vektory. A pak je chci ortonormalizovat - aby byly všechny stejně dlouhé.

Příklad

• Vektorový prostor, který je generovaný bází $V=\left[\left\{{\vec{u}}_1,{\vec{u}}_2,{\vec{u}}_3\right\}\right]$ budeme chtít převést na $V=\left[\left\{{\vec{w}}_1,{\vec{w}}_2,{\vec{w}}_3\right\}\right]$ tak abychom věděli, že $\overrightarrow{w_i}\perp \overrightarrow{w_j}$ pro $\forall i,j\in \{1,2,3\}$ kde $i\ne j$
• Postup:
  1. $\overrightarrow{w_1}=\overrightarrow{u_1}$
  2. $\overrightarrow{w_2}=\overrightarrow{u_2}-\frac{\overrightarrow{u_2}\circ \overrightarrow{w_1}}{\overrightarrow{w_1}\circ \overrightarrow{w_1}}\cdot \overrightarrow{w_1}$
  3. $\overrightarrow{w_n}=\overrightarrow{u_n}-\frac{\overrightarrow{u_n}\circ \overrightarrow{w_1}}{\overrightarrow{w_1}\circ \overrightarrow{w_1}}\cdot \overrightarrow{w_1}-\frac{\overrightarrow{u_n}\circ \overrightarrow{w_2}}{\overrightarrow{w_2}\circ \overrightarrow{w_2}}\cdot \overrightarrow{w_2}-...-\frac{\overrightarrow{u_n}\circ \overrightarrow{w_{n-1}}}{\overrightarrow{w_{n-1}}\circ \overrightarrow{w_{n-1}}}\cdot \overrightarrow{w_{n-1}}$

Postup podrobněji

1. Zvolíme si výchozí vektor ${\vec{w}}_1$ : je jedno který si vezmu, klidně $u_1$ tzn. ${\vec{w}}_1={\vec{u}}_1$
2. Najdu ${\vec{w}}_2={\vec{u}}_2+k\cdot {\vec{w}}_1$ (Najdu $w_2$ jako lineární kombinaci vektoru $u_2$ a k násobku $w_1):{\vec{w}}_2={\vec{u}}_2-\frac{{\vec{u}}_2\circ {\vec{w}}_1}{{\vec{w}}_1\circ {\vec{w}}_1}\cdot {\vec{w}}_1$
3. Najdu ${\vec{w}}_3$ jako lineární kombinaci předchozích vektorů - ty co už mám $({\vec{w}}_1$ a ${\vec{w}}_2)$ - tzn. ${\vec{w}}_1={\vec{u}}_3+r\cdot {\vec{w}}_1+s\cdot {\vec{w}}_2$ kde r a s jsou nějaké násobky. Po úpravě dostaneme: ${\vec{w}}_3={\vec{u}}_3-\frac{{\vec{u}}_3\circ {\vec{w}}_1}{{\vec{w}}_1\circ {\vec{w}}_1}\cdot {\vec{w}}_1-\frac{{\vec{u}}_3\circ {\vec{w}}_2}{{\vec{w}}_2\circ {\vec{w}}_2}\cdot {\vec{w}}_2$

• Tento příklad je pouze pro tři vektory. V úvodním to bylo pro $n$ vektorů.

• Když získám všechny vektory ortogonální báze tak je pak zapíšu jako množinu $B_{\perp (V)}=\left\{{\vec{w}}_1,{\vec{w}}_2,{\vec{w}}_3\right\}$

Ortonormalizace ortogonální báze

• Musíme zajistit aby měli všechny vektory délku jedna (jednotkové prvky).
• Ortonormalizace vektoru:
  1. Spočítáme délku vektoru - pomoci skalárního součinu: $\Vert \vec{w}\Vert =\sqrt{\vec{w}\circ \vec{w}}$
  2. Vydělíme původní vektor délkou vektoru: $\vec{n}=\frac{\vec{w}}{\Vert \vec{w}\Vert }$
  3. Dostaneme vektor, který má délku jedna
• Tohle udělámé pro všechny ortogonální vektory a pak dostaneme ortonormální bázi

Příklad ortonormalizace jednoho vektoru

${\vec{w}}_1=(1,-2,2,0)$

1. $\Vert {\vec{w}}_1\Vert =\sqrt{{\vec{w}}_1\circ {\vec{w}}_1}=\sqrt{9}=3$
2. Vydělíme každou složku vektoru délkou vektoru
3. Dostaneme: ${\vec{n}}_1=\left(\frac{1}{3},-\frac{2}{3},\frac{2}{3},0\right)$

Navigace

Předchozí: Vektorové prostory, podprostory, báze a dimenze, matice přechodu Následující: Soustavy lineárních rovnic, Frobeniova věta, Gaussova eliminační metoda, Cramerovo pravidlo Celý okruh: 1. Teoretické základy informačních technologií