Vojtěch Netrh

❯

❯

❯

Binomická věta

Binomická věta

19. 6. 20252 min čtení

Definice

Pro reálná čísla $a, b$ a nezáporní celé číslo $n$ je $(a + b)^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (k n) a^{n - k} b^{k}$

Důkaz

Pomocí matematické indukce

Pro $n = 1$ platí $(a + b)^{1} = (0 1) a + (1 1) b = a + b$
Předpokládejme, že věta platí pro nějaké $n = k$ , platí tedy $(a + b)^{k} = (0 k) a^{k} + (1 k) a^{k - 1} b + (2 k) a^{k - 2} b^{2} + ... + (k - 1 k) a b^{k - 1} + (k k) b^{k}$

Za tohoto předpokladu dokážeme, že věta platí také pro $n = k + 1$ .
Víme, že $(a + b)^{k + 1} = (a + b) \cdot (a + b)^{k}$ Podle indukčního předpokladu můžeme výraz $(a + b)^{k}$ rozvinout podle binomické věty: $(a + b)^{k + 1} = (a + b) \cdot [(0 k) a^{k} + (1 k) a^{k - 1} b + (2 k) a^{k - 2} b^{2} + ... + (k - 1 k) a b^{k - 1} + (k k) b^{k}]$ Po roznásobení dostáváme: $(a + b)^{k + 1} = (0 k) a^{k + 1} + (1 k) a^{k} b + (2 k) a^{k - 1} b^{2} + ... + (k - 1 k) a^{2} b^{k - 1} + (k k) a b^{k} + (0 k) a^{k} b + (1 k) a^{k - 1} b^{2} + (2 k) a^{k - 2} b^{3} + ... + (k - 1 k) a b^{k} + (k k) b^{k + 1}$ Odpovídající členy sečteme: $(a + b)^{k + 1} = (0 k) a^{k + 1} + [(1 k) + (0 k)] a^{k} b + [(2 k) + (1 k)] a^{k - 1} b^{2} + ... + [(k k) + (k - 1 k)] a b^{k} + (k k) b^{k + 1}$ Pro sečtení čísel v hranatých závorkách využijeme vlastnost kombinačních čísel $(k n) + (k + 1 n) = (k + 1 n + 1)$ $(a + b)^{k + 1} = (0 k) a^{k + 1} + (1 k + 1) a^{k} b + (2 k + 1) a^{k - 1} b^{2} + ... + (k k + 1) a b^{k} + (k k) b^{k + 1}$ Protože platí $(0 k) = 1 = (0 k + 1)$ a také $(k k) = 1 = (k + 1 k + 1)$ , dostáváme binomickou větu pro $n = k + 1$ : $(a + b)^{k + 1} = (0 k + 1) a^{k + 1} + (1 k + 1) a^{k} b + (2 k + 1) a^{k - 1} b^{2} + ... + (k k + 1) a b^{k} + (k k + 1) b^{k + 1}$ Tím je platnost binomické věty dokázána.

Navigace

Předchozí: Pravidlo součtu a součinu, permutace, variace, kombinace Následující: Princip inkluze a exkluze Celý okruh: 1. Teoretické základy informačních technologií

Vytvořeno pomocí Quartz v4.5.0 © 2025